مقایسه عملکرد روش‌های بدون شبکه چندربعی و حجم محدود  در حل معادله موج دوبعدی

توکلی, نسرین; اکبری, مجید; بابایی, رضا; جباری, احسان

doi:10.22060/ceej.2026.23804.8245

مقایسه عملکرد روش‌های بدون شبکه چندربعی و حجم محدود در حل معادله موج دوبعدی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

نسرین توکلی ¹

مجید اکبری ²

رضا بابایی ¹

احسان جباری ¹

¹ گروه مهندسی عمران، دانشگاه قم، قم، ایران

² دانشکده شهید نیکبخت، دانشگاه سیستان و بلوچستان، زاهدان، ایران

10.22060/ceej.2026.23804.8245

چکیده

به‌منظور شبیه‌سازی و درک پدیده‌ها در حوزه‌های مهندسی آب، سیالات و هیدرولیک ازجمله تحلیل اندرکنش سد و مخزن تحت اثر بارهای دینامیکی، مدل‌سازی انتشار امواج سونامی و بررسی انتقال آلودگی در محیط‌های آبی، حل معادله موج یک و دوبعدی اجتناب‌ناپذیر است. به همین دلیل توسعه روش‌های عددی و تحلیلی برای حل این معادله همچنان به‌منظور غلبه بر چالش‌ها ادامه دارد. در این تحقیق عملکرد روش بدون شبکه پایه شعاعی چندربعی در مقایسه با روش حجم محدود سلول مرکزی برای حل معادله موج درجه دوم دوبعدی بررسی شده است. معادله موج توصیف‌کننده انتشار موج‌ در یک محیط معین است که رابطه بین مشتق دوم زمانی و مکانی را با سرعت موج مشخص می‌کند. روش حجم محدود و روش پایه شعاعی ازجمله روش‌هایی هستند که برای مدل‌سازی معادلات دیفرانسیل جزئی مانند معادله موج در هندسه‌های پیچیده استفاده می‌شوند. برای مقایسه کارایی این دو روش ابتدا روش حجم محدود بر اساس یک شبکه مثلثی سلول مرکزی تدوین شده است. روش برهم‌نهی پایه شعاعی نیز با استفاده از تابع چندربعی برای نقاط پراکنده توسعه داده شده و در نهایت گسسته‌سازی زمانی از طریق روش صریح اویلر انجام شده است. مقایسه عملکرد و قابلیت‌های دو روش با انجام چند آزمون عددی برای هندسه‌ها و شرایط اولیه و مرزی مختلف، پراکندگی نقاط، متغیرشکل و زمان پردازش هریک از روش‌ها صورت گرفته است. برای مقایسه کمی بهتر دو روش، همچنین حل تحلیلی موج با به‌کارگیری روش جداسازی متغیرها برای یک هندسه ساده مستطیلی با شرایط اولیه و مرزی مشخص بدست آمده است. نتایج این تحقیق نشان‌دهنده هزینه محاسباتی کمتر روش پایه شعاعی چندربعی در مقایسه با روش حجم محدود سلول مرکزی به ازای دقت تقریباً یکسان است.

کلیدواژه‌ها

معادله موج دوبعدی

روش حجم محدود

روش پایه شعاعی چند ربعی

روش سلول مرکزی

روش بدون شبکه

موضوعات

روش های عددی

عنوان مقاله English

A Comparison between the Performance of RBF-MQ Method and Cell-Centered Finite Volume Method in Solving 2d Wave Equation

نویسندگان English

Nasrin Tavakkoli ¹

Majid Akbari ²

Reza Babaee ¹

Ehsan Jabbari ¹

¹ University Of Qom, Qom, Iran

² Sistan and Balouchestan University

چکیده English

In this study, the performance of the multi-quadratic radial basis function (RBF-MQ) method is compared with the cell-centered finite volume method (FVM-CC) for solving the two-dimensional second-order wave equation. The wave equation describes wave propagation, such as sound waves, and relates the second derivatives in time and space to the wave speed. The finite volume method and radial basis function method are among the techniques used for modeling partial differential equations, such as the wave equation, in complex geometries. To compare the efficiency of these two methods, the finite volume method is first formulated based on triangular cell-centered volumes. The radial basis function superposition method is also developed using a multiquadric function for scattered points. Finally, time discretization is carried out using the explicit Euler method. The comparison of the performance and capabilities of both methods is made by performing several numerical tests on different geometries, initial and boundary conditions, scattered points, shape variables, and processing time for each method. For a more quantitative comparison, an analytical solution of the wave equation is obtained using the method of separation of variables for a simple rectangular geometry with specified initial and boundary conditions. The results of this study indicate lower computational cost and better efficiency of the multiquadric radial basis function method compared to the cell-centered finite volume method. However, the RBF-MQ method strongly depends on the shape parameter and the selected scattered point distribution. Additionally, the FVM-CC method provides higher relative accuracy compared to RBF-MQ, regardless of the shape parameter and selected scattered point distribution.

کلیدواژه‌ها English

Two-Dimensional Wave Equation

Finite Volume Method

Multiquadric Radial Basis Function Method

Cell-Centered Method

Meshless Method

[1] M. Akbari, B. Pirzadeh, Preserving stationary discontinuities in two-layer shallow water equations with a novel well-balanced approach, Journal of Hydroinformatics, 25(5) (2023) 1979-2003.

[2] H. Kahid Basiri, R. Babaee, A. Fallah, E. Jabbari, Development of multiquadric method for solving dam break problem, Journal of Hydraulics, 14(4) (2020) 83-98. (in persian)

[3] E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag, Berlin, 2009.

[4] R.J. LeVeque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

[5] P.D. Lax, Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathemathical Theory of Shock, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1973.

[6] A. Harten, J.M. Hyman, Self adjusting grid methods for one-dimensional hyperbolic conservation laws, Journal of Computational Physics, 50(2) (1983) 235-269.

[7] P.L. Roe, Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes, Journal of Computational Physics, 43(2) (1981) 357-372.

[8] M. Akbari, B. Pirzadeh, Implementation of exactly well‐balanced numerical schemes in the event of shockwaves: A 1D approach for the shallow water equations, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 94(7) (2022) 849-895.

[9] M.E. Vázquez-Cendón, Improved Treatment of Source Terms in Upwind Schemes for the Shallow Water Equations in Channels with Irregular Geometry, Journal of Computational Physics, 148(2) (1999) 497-526.

[10] R.J. LeVeque, Balancing Source Terms and Flux Gradients in High-Resolution Godunov Methods: The Quasi-Steady Wave-Propagation Algorithm, Journal of Computational Physics, 146(1) (1998) 346-365.

[11] M. Akbari, B. Pirzadeh, A second order well-balanced and entropy consistent numerical scheme for one-dimensional shallow water equations, Journal of Hydraulics, 19(2) (2024) 1-17. (in persian)

[12] R.L. Hardy, Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces, Journal of Geophysical Research (1896-1977), 76(8) (1971) 1905-1915.

[13] E.J. Kansa, Multiquadrics—A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics—II solutions to parabolic, hyperbolic and elliptic partial differential equations, Computers & Mathematics with Applications, 19(8-9) (1990) 147-161.

[14] E. Jabbari, A. Fallah, A Comparison Between Local and Global MQ-RBF, Iranian Journal of Science and Technology, Transactions of Civil Engineering, (2025).

[15] M. Gholamipoor, M. Ghiasi, Numerical Simulation of Fully Non-linear Sloshing Waves in a Rectangular Tank Using Radial Basis Function-Finite Difference Method, Water Waves, (2025).

[16] D. Mishra, N.B. Barik, T. Samantara, A Radial Basis Function and Its Application in Solving Partial Differential Equations—A Brief Review, in: K.N. Das, P. Biswas, I. Budinska, R. Mallipeddi (Eds.) Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics and Applications, Springer Nature Singapore, Singapore, 2026, pp. 107-117.

[17] N. Tavakoli, R. Babaee, E. Jabbari, Solving the Inhomogeneous Second-Order Wave Equation with Asymmetric Boundary Conditions: Novel Analytical, Mesh-Based, and Meshless Approaches in Computational Fluid Dynamics, Journal Of Iranian Water Engineering Research, 3(3) (2023) -.(in persian)

[18] A.E. Tarwater, Parameter study of Hardy's multiquadric method for scattered data interpolation, Lawrence Livermore National Laboratory, California, United States, 1985.

[19] B. Šarler, R. Vertnik, Meshfree explicit local radial basis function collocation method for diffusion problems, Computers & Mathematics with Applications, 51(8) (2006) 1269-1282.

[20] A. Fallah, E. Jabbari, R. Babaee, Development of the Kansa method for solving seepage problems using a new algorithm for the shape parameter optimization, Computers & Mathematics with Applications, 77(3) (2019) 815-829. (in persian)

[21] M. Koushki, R. Babaee, E. Jabbari, Application of MQ-RBF method for solving seepage problems with a new algorithm for optimization of the shape parameter, Amirkabir Journal of Civil Engineering, 52(4) (2020) 1009-1024. (in persian)

[22] R. Franke, Scattered data interpolation: tests of some methods, Mathematics of computation, 38(157) (1982) 181-200.